Бим-Бад Борис Михайлович

Официальный сайт

Много многознаек не имеют разума. Надо стремиться не к многознанию, а к многомыслию.

Демокрит

Фейгенберг И. М. Случайные события и их вероятности

Автор: И. М. Фейгенберг

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
(ГЛАВА ДЛЯ КНИГИ: «О МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЬНЫХ ШКОЛЬНИКОВ»)
И. М. Фейгенберг
Если кто-то сказал: «Завтра я закончу эту работу», то это однозначно, совершенно определенно – он обещает завтра закончить работу. Так же определенно выражение: «Завтра я не закончу эту работу». Оба эти выражения совершенно определенны.
А вот во фразе «Завтра я, вероятно, закончу эту работу» слово «вероятно» вносит неопределенность: работа завтра может быть закончена, а может быть не закончена. Если сказано: «Я, вероятнее всего, закончу эту работу», степень неопределенности уменьшается. Можно готовиться к окончанию работы, хотя и нет полной уверенности в том, что работа будет закончена. Уменьшается неопределенность и в том случае, если сказано: «Мало вероятно, что я завтра закончу эту работу». Работа, скорее всего, не будет закончена, но все же есть небольшой шанс на то, что работа будет закончена.
Таким образом, степень неопределенности может быть различной. Максимальная определенность – это когда некоторое событие наверняка произойдет или наверняка не произойдет. Максимальная неопределенность – если шансы на то, что событие произойдет, и на то, что событие не произойдет, одинаковы. Это можно изобразить такой схемой:
0 0,5 1
.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.
0 – событие наверняка не произойдет (полная определенность, вероятность события равна 0).
1 – событие наверняка произойдет (полная определенность, вероятность события равна 1).
0,5 – ни одному из вариантов нельзя отдать предпочтение (полная неопределенность – вероятность того, что событие произойдет, и того, что событие не произойдет, одинакова и равна 0,5).
При движении по этой шкале вероятность события переходит от полной определенности (вероятность события равна 0) к максимальной неопределенности (вероятность события равно 0,5) и далее опять к полной определенности (вероятность события равна 1).
Многие люди считают, что «если они о чем-либо не имеют полного знания (а мы никогда не имеем полного знания), то они вообще ничего об этом не знают. […..] Такого рода мнение глубоко ошибочно. Частичное знание также является знанием, и неполная уверенность равным образом имеет некоторое значение, особенно, когда известна степень этой уверенности».1
Степень этой уверенности может быть выражена числом. Вероятность – это степень уверенности, что некоторое определенное событие, носящее случайный характер, произойдет.
Примером случайных событий может быть исход подбрасывания монетки. Монета может упасть так, что сверху окажется герб («орёл»), или так, что сверху окажется та сторона монеты, где написано ее достоинство («решка»). Предсказать, какое из этих двух событий произойдет в данном бросании, невозможно. Но если число бросаний достаточно велико, то легко убедиться, что число каждого из возможных исходов близко к половине числа всех бросаний. Таким образом, хотя мы имеем дело со случайными событиями, выявляется закономерность: вероятность определенного события в случае двух несовместимых событий (т.е. таких, которые не могут произойти одновременно) равна в нашем случае ½ или 0,5. Вероятность любого из двух возможных исходов бросания монеты одинакова.
Число возможных случайных событий не обязательно равно двум. Рассмотрим бросание игрального кубика. У него 6 граней. На каждой грани написана одна из цифр – 1,2,3,4,5 или 6. Какая грань (с какой цифрой) выпадет при одном бросании предсказать невозможно. Но при большом числе бросаний кубика число выпадений любой из граней будет близко к числу выпадений любой другой грани. Таким образом, в этом случае вероятность выпадения каждой грани равна 1/6 по числу возможных и несовместимых исходов бросания кубика.
В обоих рассмотренных выше случаях вероятность любого из возможных исходов одинакова: ½ в случае 2 возможных исходов и 1/6 в случае 6 возможных исходов. Вероятности всех возможных исходов одинаковы – исходы равновероятны, равновозможны. Сумма всех возможных исходов равна 1.
Но это не всегда так. В некоторых вариантах случайных событий вероятности возможных исходов могут быть различными. Рассмотрим для примера «игру в напёрсток ». Игра состоит в следующем. Некто (назовем его «хозяин игры») имеет три напёрстка, лежащие на столе открытой стороной вниз. Под один из напёрстков подложен шарик. Затем напёрстки «перетасованы», так что неясно, под каким из них лежит шарик. Хозяин игры предлагает проходящим мимо людям «испытать счастье» -- указать, под каким из трёх одинаковых напёрстков лежит шарик. В случае правильного угадывания хозяин награждает прохожего определенной суммой денег. В случае неправильного угадывания прохожий платит такую же сумму.
Прохожему кажется, что у него равные шансы выиграть или проиграть. Но, постояв около хозяина во время игры с другими игроками, он замечает, что хозяин чаще выигрывает, чем проигрывает. Он говорит хозяину:
- Ты жульничаешь. Ты, наверное, иногда не кладешь шарик ни под один напёрсток.
- Что ты говоришь! – восклицает хозяин. – Постой рядом и убедись, что я всегда кладу шарик под один из напёрстков. Потом я перемешиваю наперстки. И теперь всё зависит только от тебя – от твоей догадливости, сообразительности, интуиции. От меня ничего не зависит. Всё в твоих руках – угадаешь или нет.
Прохожий убеждается, что жульничества со стороны хозяина нет. Прохожий вступает в игру и, предположим, выигрывает. Хозяин говорит ему:
- Молодец, у тебя прекрасная сообразительность, догадка, интуиция. Давай сыграем еще несколько раз.
Польщённый похвалой и удачей прохожий играет еще несколько раз – и в итоге оказывается в проигрыше.
Почему в проигрыше? Давайте разберемся в вероятностной структуре этой игры.
Три напёрстка, под одним из которых лежит шарик, выглядят совершенно одинаково. Выбор напёрстка прохожим случаен и одинаково вероятен для любого из трёх напёрстков. Но два из трёх равновероятных вариантов выбора оказываются проигрышными для прохожего (это выигрыши хозяина). И лишь один из трех вариантов дает выигрыш прохожему.
Если прохожий понимает это – он не станет играть. Но многие играют – не понимая элементарной оценки вероятности событий. А вероятность выигрыша хозяина равна 2/3, а прохожего – 1/3.
Можно ли сказать, что хозяин жульничает? Нет – ведь он не сказал неправду, ничего не скрыл от прохожего, ясно видящего всю ситуацию. Хозяин выигрывает благодаря незнанию прохожим вероятности случайных событий и вследствие этого непониманию своего несомненного проигрыша в этой игре, если игра повторяется несколько раз.
х х х
Начало развития теории вероятностей было положено замечательным французским математиком Блезом Паскалем (1623 – 1662). Теория вероятностей – это математика случайного, неопределённого. К Паскалю обратился один любитель игры в кости (его звали де Мере). Результат игры в кости носит случайный характер. Если при игре в шахматы выигрывает тот, кто умеет выбрать лучшую стратегию игры, то при игре в кости выигрыш – дело случайное. Шансы выиграть у всех игроков одинаковые, а выигрывает тот, кому случайно повезет. Де Мере не понимал этого. Но ему казалось, что он нащупал выигрышную тактику игры. Но как-то не до конца понял эту тактику – и всё же нередко проигрывал. Вот он и попросил математика Паскаля найти тактику игры, обеспечивающую выигрыш. Паскаль хорошо понимал, что в случайной игре такой тактики быть не может. Но проблема вероятностей случайных событий заинтересовала его. И он заложил основы математической теории вероятностей. Его современникам казалось, что это очень узкий и даже несущественный раздел математики, пригодный только для описания азартных игр.
х х х
После открытий Исаака Ньютона в науке укрепилось представление о том, что причина однозначно определяет следствие – строгий однозначный детерминизм (от латинского слова determinо – определяю).
Ученым казалось, что случайных событий не бывает. А то, что нам кажется случайным – это результат нашего незнания деталей, связей между явлениями. И тем не менее математики развивали теорию вероятностей. Они считали, что вероятности позволяют довольно хорошо описывать явления, компенсируя наше незнание множества деталей. Так, например, возможно установить связь между температурой газа и давлением этого газа, хотя мы не можем знать, как движется каждая молекула газа при определённой температуре.
Исследования Исаака Ньютона (1642-1727) в Англии и французского ученого Пьера Симона Лапласа (1749-1827) укрепили в науке представление о жестком детерминизме, об однозначности связи между причиной и следствием явлений в природе. Однако в дальнейшем стало ясно, что представление о жестком детерминизме ошибочно.
В начале 20-го века физика сильнейшим образом расширила круг изучаемых ею явлений.
Научные законы Природы, установленные человеком, -- это модели, созданные человеком на основании его наблюдений, на основании того, что из явлений Природы человек может видеть, воспринимать своими органами чувств. А в Природе есть очень много того, что недоступно органам чувств человека (например, магнитное поле Земли, которого человек не ощущает). Однако люди научились достраивать свои органы так, что их органам чувств становилось доступно то, что раньше было им недоступно. Например, изобретенный в Китае компас преобразовывал информацию о магнитном поле Земли в ясно видимое глазу человека направление стрелки компаса.
Итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642) построил зрительную трубу и в 1610 году глаз человека впервые увидел спутники Юпитера, а затем и фазы планеты Венеры, и кратеры на поверхности Луны. Дальнейшее усовершенствование телескопов дало человечеству возможность увидеть многие удаленные от него части Вселенной – и на этой базе построить новую, более полную модель мира. Старая модель мира оказалась лишь малой частью новой модели макромира.
Несколько позже голландец Антони ван Левенгук (1632-1723) построил из отшлифованных им линз первый микроскоп. Микроскопы становились все совершеннее, и глазу человека открылся микромир – в том числе «ничтожные зверюшки», как их назвал Левенгук. С усовершенствованием микроскопов глазу человека открылся ранее невидимый и неведомый человечеству мир микроорганизмов – микромир, знание о котором положило начало, в частности, эффективной борьбе с болезнями.
Вот так, достраивая свои органы чувств, человек начал видеть более широкую картину мира и строить на этой базе новые, более глубокие модели этого мира.2
К началу 20-го века уже были созданы приборы, открывшие человеческому глазу и сознанию человека поведение микрочастиц. Человек увидел (в буквальном смысле этого слова) траекторию полета этих частиц и смог изучить их свойства. Достройка человека приборами, переводящими информацию, недоступную его природным органам чувств, в форму, доступную им, сильнейшим образом расширила круг явлений Природы, изучаемых наукой.
До этого физики изучали движения различных тел большой величины и массы – начиная от движения камня или пушечного ядра, на которые подействовала определенная сила, и до движения планет вокруг Солнца под влиянием притягивающего их действия Солнца. Но с начала 20-го века появилась возможность изучать движение тел с очень маленькой массой. И оказалось, что движение микрочастиц (электронов, протонов и других) не укладывается в схему строго однозначного детерминизма, не подчиняется законам механики, открытым Ньютоном. Возникла новая наука – квантовая механика. Эксперименты показали, что траекторию движения элементарной частицы невозможно однозначно предсказать. Принципиально невозможно, а не в результате нашего незнания! Однако, можно точно предсказать вероятность той или другой траектории частицы при очень большом числе наблюдений. Вероятности не оказались лишь инструментом, компенсирующим недостаточные знания человеком всех деталей связей между явлениями. Вероятности оказались существенной стороной самой природы. Квантовая механика не опровергла законы Ньютона. Просто законы Ньютона оказались частным случаем, относящимся к движению тел с большой массой. На смену представлений о жестком однозначном детерминизме пришло представление о вероятностном детерминизме. Знание математической теории вероятностей оказалось очень существенным не только при изучении физических, биологических и других процессов. Оно многое прояснило в различных науках. Но это произошло далеко не сразу.
х х х
В 1865 году Грегор Мендель (1822-1884) опубликовал результаты своих наблюдений над скрещиванием сортов гороха, имеющих различие по какому-то одному признаку. Опыты проводились с очень большим числом растений и продолжались несколько лет. Мендель был настоятелем монастыря в городе Брно (столице Словакии). Пытливость ума и настойчивость в работе привели Менделя к очень важному результату, который опередил время на несколько десятилетий.
Опыты проводились на садовом горохе. Садовый горох бывает двух вариантов – один с гладкими горошинами, другой с морщинистыми горошинами. В естественных условиях у растений садового гороха возможно только самоопыление: пыльца растения попадает в пестик этого же растения и оплодотворяет его семяпочку. Так что растение следующего поколения полностью наследует признаки растения предыдущего поколения – в частности, гладкость или морщинистость горошин. Мендель решил посмотреть, что получится, если искусственно пыльцу растения с гладкими горошинами внести в пестик растения с морщинистыми горошинами (и наоборот, пыльцу растения с морщинистыми горошинами в пестик растения с гладкими горошинами). Результат оказался неожиданным: все растения первого поколения потомков имели гладкие горошины. Мендель, естественно пришел к выводу, что носитель признака (позже его назвали ген – от латинского слова genetivus, что означает «полученный от родителей») гладких горошин «сильнее», чем ген морщинистых горошин3.
На следующий год Мендель вырастил растения первого поколения гибридов (все они были с гладкими горошинами!) и обеспечил их самоопыление.. На большом числе опытов (а у Менделя их было сделано очень много!) результат оказался совсем неожиданным. ¾ растений второго поколения имели гладкие горошины (как и у их родителей), а у ¼ растений были морщинистые горошины (хотя у их родителей – гладкие). Значит «носитель наследственного признака» (ген в современном языке) морщинистых горошин не пропал в предыдущем поколении.
В следующем (третьем) поколении Мендель проследил результат самоопыления растений второго поколения. ¼ растений второго поколения дали в следующем поколении все растения с гладкими горошинами (как и у их родителей). ¼ растений дали поколение с морщинистыми горошинами. А ½ растений дала часть потомства с гладкими горошинами, а часть – с морщинистыми горошинами.
Осмысливая результат очень большого числа (это очень существенно!) опытов, Мендель понял следующее. Каждый дочерний организм получает гены какого-либо признака от матери и от отца (для растений при самоопылении – из семяпочки и от пыльцы). Таким образом, в первом поколении гибридов в опытах Менделя каждый дочерний организм получил ген гладких горошин и ген морщинистых горошин. Но ген гладких горошин оказался «сильнее» гена морщинистых горошин (более сильный ген называют доминантным – от латинского слова dominator, что значит покоритель, победитель), а ген морщинистых горошин оказался более слабым (слабый ген называют рецессивным от латинского слова recedo, что значит удаляться, исчезать, пропадать). Поэтому все гибриды первого поколения в опытах Менделя имели гладкие горошины. Но каждое растение первого поколения наряду с доминантным геном гладких горошин (обозначим его больший буквой Г) имеет и не проявившийся рецессивный ген морщинистых горошин (обозначим его малой буквой м).
Во втором поколении у каждого растения имеются родительские гены Г и м. Каждый из генов пыльцы имеет одинаковую вероятность встречи при скрещивании с генами Г и м семяпочки. Обозначим гены пыльцы при самоопылении Гп и мп, а гены семяпочки Гс и мс. Таким образом, при большом числе опытов четверть потомков будут иметь гены Гп, Гс; четверть Гп, мс; четверть мп, Гс и четверть мп, мс.
Итак, при большом числе опытов в следующем поколении ¾ всех растений будут иметь гладкие горошины (Гп, Гс, и Гп, мс и мп, Гс), а четверть – с морщинистыми горошинами (мп, мс).
Растения с морщинистыми горошинами родят только потомков с морщинистыми горошинами – у них есть только гены мп и м.с
А вот растения с гладкими горошинами дадут при самоопылении другой результат. Те, которые имеют гены Гп, Гс дадут всё потомство с гладкими горошинами. А те, которые имеют гены Гп, мс и мп, Гс, дадут другой результат. Гп может встретиться с Гс -- и всё потомство будет иметь гладкие горошины. При встрече мс с мп всё потомство будет с морщинистыми горошинами. А при встрече Гп с мс или мс с Гс потомство будет иметь гладкие горошины, но будет содержать рецессивный ген м. Поэтому при самоопылении этой группы потомство будет неоднородным – часть с гладкими, а часть с морщинистыми горошинами. Вероятность каждого из четырёх вариантов встречи генов (Гп, Гс или Гп, мс или Гс, мп или мп мс) при большом числе опытов почти одинакова.
Вот так через много лет после опубликования Паскалем математической теории вероятностей эта теория, описывающая случайные события и их вероятности, нашла очень яркое применение в биологии. Мендель заложил основы генетики, значение которой в современной биологии, медицине и сельском хозяйстве трудно переоценить.4
Мендель опубликовал результаты своих исследований в 1865 году в мало распространенном издании. Но современников работа Менделя не заинтересовала. Они увидели в ней лишь мало значимые опыты какого-то неизвестного монаха с каким-то несущественным садовым горохом, а не открытие общих законов наследственности.
И только через 35 лет (в 1900 году) эти законы были вновь открыты (исследования Августа Вейсмана, Гуго де Фриза и Карла Карренса). Они поняли огромное общебиологическое значение открытых законов наследственности. И только лишь потом раскопали всеми забытую работу Менделя. Отдав должное приоритету Менделя, эти законы были названы законами Менделя. Началось быстрое развитие генетики.
Таким образом, основанная Паскалем математическая теория вероятностей, которая долгое время после публикации казалась лишь красивой математической работой, не имеющей отношения к реальной жизни, а открытие Менделем законов наследственности (тоже только через много лет после публикации), оказались основой современной генетики.
Схема
х х х
Вопрос о вероятностях оказался очень существенным и при изучении поведения животных и активных действий человека.
Мне приходилось наблюдать вот какое явление. На асфальте городской площади в Венеции множество голубей. Я иду прямо на массу голубей. По мере моего приближения они не улетают и не убегают, чтобы увеличить расстояние между мной и ими. А ведь именно так следовало бы поступить при приближении чего-либо, опасного для них. Голуби же расступаются, одни вправо, другие влево от того места, через которое пройдет мой путь, если я и дальше буду двигаться по прямому направлению. Значит, голуби перемещаются не от меня, а от того места, где я окажусь в следующий момент. Голуби предвидят, прогнозируют наиболее вероятный путь моего движения и отдаляются не от меня, а от того места, где я окажусь вероятнее всего (по их прогнозу) в следующее мгновение. Но стоит мне остановиться, и голуби взлетают – их прогноз относительно моих дальнейших действий не оправдался, будущее неопределенно и лучше быть подальше.
Подобное поведение можно наблюдать и в поведении городской вороны, находящейся на проезжей части городской улицы. Появляется автомобиль, движущийся в направлении вороны. Когда автомобиль окажется на определенном расстоянии от вороны, ворона отходит в сторону тротуара и пропускает едущий автомобиль недалеко от себя. Чем быстрее едет автомобиль, тем раньше (на большем расстоянии от автомобиля) ворона начинает отходить в сторону. Ясно, что она прогнозирует и направление наиболее вероятного дальнейшего движения автомобиля, а также принимают в расчёт скорость его движения.
Аналогичное проявление вероятностного прогнозирования несложно наблюдать и в поведении млекопитающих (например, собак, кошек, кроликов и др.).
В школе замечательного ученого Николая Александровича Бернштейна (1896-1966), основоположника физиологии активности, была изучена способность живых существ к вероятностному прогнозированию событий, происходящих в их окружении.
Откуда же возникает способность прогнозировать предстоящую (и ещё не наступившую!) ситуацию? Она возникает из прошлого опыта, хранимого в памяти животного. Хозяин домашней собачки вечером снимает свое пальто с вешалки – и собачка уже оживляется и бежит к выходу из квартиры, прогнозируя прогулку. Но ведь может быть, что пальто снимают для другой цели. Однако, память собачки хранит информацию о том, что чаще всего вечером хозяин снимает пальто с вешалки перед прогулкой с собачкой. Отсюда заключение, что вероятнее всего и сейчас предстоит прогулка. И собачка бежит к двери.
Таким образом, память, хранящая сведения о том, что чаще всего следовало после определенной ситуации, позволяет сформировать вероятностный прогноз того, что вероятнее всего произойдет дальше. И животное действует, опережая события.
Вероятностное прогнозирование сформировалось как полезная организму функция в ходе биологической эволюции. Это было результатом того, что биологическая эволюция происходила в вероятностно организованном мире.
У человека вероятностное прогнозирование развивается с раннего детства. Взрослый человек бросает малышу мяч. Пока мяч летит, ручки малыша уже тянутся к тому пока еще пустому месту пространства, где по прогнозу малыша окажется мяч в следующий момент. Да и хороший спортсмен, имеющий большой опыт, опережает события, быстро приближаясь к тому месту, где по его прогнозу окажется мяч в тот момент, когда спортсмен достигнет этого места.
Память животных и человека устроена так, что она обеспечивает вероятностное прогнозирование. В этом смысле память – это функция, направленная в будущее, опирающаяся при этом на хранимую в памяти информацию о вероятностной структуре прошлого опыта.5 Движения, опережающие ход события, которому они адекватны, обеспечивают точность и успешность действий.
Чем больше неопределённость вероятностного прогноза, тем труднее активное принятие решения о действиях, направленных на достижение некоторого результата, который нужен активно принимающему решение. Неопределенность вероятностного прогноза говорит о том, система находится в состоянии неустойчивого равновесия. Чем неопределённее вероятностный прогноз, тем больше элемент риска при принятии решения о целесообразных действиях. Величина риска может быть оценена степенью неопределённости вероятностного прогноза. Решение же о выборе оптимальных действий не вытекает автоматически из вероятностного прогноза. Принятие этого решения – активное действие принимающего решение, требующее опоры на вероятностный прогноз, на степень риска и на чёткое понимание того, что должно быть достигнуто в результате действий.
х х х
Вот так основанная Паскалем математическая теория вероятностей – исследование, возникшее по случайному поводу (просьба какого-то игрока в кости) и поначалу казавшееся не очень существенным – оказалась чрезвычайно важной для многих наук и для понимания мира, в котором мы живём.
1 А.Реньи. Трилогия о математике. Изд. «Мир», Москва,1980, стр.136.
2 Подробнее об этом можно прочитать в книге: И.М.Фейгенберг. Человек достроенный и этика. Изд. МИА, Москва, 2011.
3 Вспомни, что в немецкой грамматике родительный падеж называется Genitiv.
4 Подробно об этом можно прочитать в книге: В.Г.Болтянский и А.П.Савин. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты. Москва, 2002.
5 Подробнее об этом можно прочитать в книге: И.М.Фейгенберг. Вероятностное прогнозирование в деятельности человека и в поведении животных. Москва, изд-во Ньюдиамед, 2008.



Понравилось? Поделитесь хорошей ссылкой в социальных сетях:



Новости
25 мая 2016
Тодосийчук, А. В. Науке нужны кадры и спрос на инновации

О финансировании науки

подробнее

06 мая 2016
Арест, Михаил. Проблемы математического образования 21 века

Вызовы нового времени и математика в школе

подробнее

26 апреля 2016
Ян Амос Коменский. Матетика, т. е. наука учения. Окончание

Окончание трактата Яна Амоса Коменского «Матетика»

подробнее

17 февраля 2016
Ян Амос Коменский. Матетика, т. е. наука учения

Деятельность учения сопровождает деятельность преподавания, и работе учителя соответствует работа учеников. Теоретически и практически это впервые показал Ян Амос Коменский, развивавший МАТЕТИКУ, науку учения, наряду с ДИДАКТИКОЙ, наукой преподавания.  
 
Трактат Коменского «Матетика, то есть наука учения» недавно был переведён на русский язык под редакцией академика РАН и РАО Алексея Львовича Семёнова.

подробнее

17 января 2016
И. М. Фейгенберг. Пути-дороги

Автобиографическая статья выдающегося психолога и педагога Иосифа Моисеевича Фейгенберга (1922-2016)

подробнее

Все новости

Подписка на новости сайта:



Читать в Яндекс.Ленте

Читать в Google Reader


Найдите нас в соцсетях
Facebook
ВКонтакте
Twitter